Série géométrique

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Série géométrique : série de la forme $$\sum_{k\geqslant0}q^k$$

Formules utiles

Factorisation

$${{\sum_{k=0}^Nq^k}}={{\frac{1-q^{N+1} }{1-q} }}$$

Consigne: Montrer que $${{\sum_{k\geqslant0}^nq^k}}={{\frac{1-q^{n+1} }{1-q} }}$$

Multiplier et diviser par \(1-q\)
$$\begin{align}\sum^n_{k\geqslant0}q^k&=1+q+q^2+\cdots+q^n\\ &=\frac{(1+q+q^2+\cdots+q^n)(1-q)}{1-q}\end{align}$$

Simplifier

Les seuls termes restants sont : $$\begin{align}&=\frac{1\cancel{-q+q-q^2+q^2-\ldots-q^n+q^n}-q^{n+1}}{1-q}\\ &=\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \end{align}$$

Si \(q\ne1\), $${{\sum_{k=M}^Nq^k}}={{\frac{q^M-q^{N+1} }{1-q} }}$$

Si \(\lvert x\rvert\lt 1\), $${{\sum^{+\infty}_{k=M}x^k}}={{\frac{x^M}{1-x} }}$$

Convergence

La série \(\sum_{k\geqslant0}q^k\) converge si \(0\lt q\lt 1\)

La série \(\sum_{k\geqslant0}q^k\) diverge si \(q\geqslant1\)

(Série convergente, Série convergente, //Suite géométrique)